Указания третьего уровня
Третьи указания к заданиям для самостоятельного выполнения
В этом разделе предлагаются новые дополнительные указания к заданиям для самостоятельного выполнения. Указания приводятся после условий заданий.Первый уровень сложности
Задание 1. Сколько существует неравных между собой равнобедренных треугольников со стороной 6 см и углом в 30°?Указание. Обратите внимание:
в условии задан равнобедренный треугольник. Угол в 30° может быть разными способами расположен в равнобедренном треугольнике.
Возможны два случая: угол в 30° лежит при основании равнобедренного треугольника и угол в 30° – угол при вершине равнобедренного треугольника.
Рассмотрите каждый случай в отдельности и применить свойство равнобедренного треугольника и теорему о сумме углов треугольника.
Рекомендации: Скорее всего, Вы не умеете применять основные утверждения и реализовывать перебор. Обратитесь к учителю за упражнениями, которые предназначены для обучения перебору.
Задание 2. Медиана разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника. Можно ли найти углы треугольника?
Указание. Рассмотрите разные случаи. Пусть дан треугольник АВС и медиана АМ проведена из вершины А. Треугольник АВМ равнобедренный. Теперь можно рассмотреть варианты равных сторон.
Возможны такие случаи: Анализ ситуации показывает, что возможны такие случаи равенства сторон:
А) АВ=АМ=МС; Б) АВ=АМ=АС; В) АМ=ВМ=СМ; Д) АВ=ВМ и АС=СМ.
Теперь рассмотрите каждый случай и определите: Может ли быть такой случай? Если случай возможен: Можно ли определить углы треугольника.
Задание 3. В четырехугольнике АВСД противоположные стороны попарно параллельны. Биссектриса угла ВАД пересекает сторону ВС в точке Е. Угол АЕС равен 100°. Найти углы А и В четырехугольника АВСД. Пусть ВАЕ=х. Составьте и решите уравнение с неизвестным х.
Указание. Вспомните, что такое биссектриса и примените наличие параллельных прямых.
Так как ВАЕ=х и АЕ- биссектриса, то ЕАД=х. Что дальше? Ответ можно получить, если определить ту часть условия задачи, которая не была использована. Определите, что не использовано и попытайтесь применить.
Рекомендации: Скорее всего, Вы не умеете замечать объекты в ситуации задачи и не умеете получать следствия из условия. Повторите и систематизируйте методы получения следствий из условия задачи. Советуем при решении задач использовать такую таблицу. Приводится фрагмент..
| № | Объект задачи | Утверждение | Обоснование |
| 1. | АЕ – биссектриса угла ВАД |
∠ВАЕ=∠ ДАЕ | На основе определения биссектрисы угла |
| 2. | Пусть ∠ВАЕ=х | Ввели обобзначение | |
| 3. | ∠ДАЕ | ∠ДАЕ=х | По пункту 1 |
Задание 4. Градусные меры углов треугольника – целые числа, никакие два из которых не равны между собой. Каждое из меньших этих чисел делит большее число. Найдите градусные меры этих чисел, если меньшее из этих чисел выражена двухзначным числом.
Указание. Составьте уравнение. Пусть х – градусная мера наименьшего угла. Примените условие: Каждое из меньших этих чисел делит большее число.
Тогда второй по величине угол ху, где у – натуральное число, а наибольший угол равен хуt, где t – натуральное число.
Теперь, применяем теорему о сумме углов треугольника, получаем:
x+xy+xyt=180
Отсюда: х(1+у+yt)=180.
x – натуральный делитель числа 180.
Что дальше?
Обратите внимание на ту часть условия, которая еще не использована. Получите новые следствия.
Задание 5. Найдите сумму внешних углов выпуклого семиугольника.
Указание. Используйте определение внешнего угла и свойство смежных углов. Каждый внешний угол является смежным для одного из внутренних. Используйте: сумма внешнего и смежного с ним внутреннего угла равна 180°.
Пусть А1, А2, …, А7 - углы семиугольника. Тогда внешние углы соответственно равны: π-А1, π-А2, …, π-А7 – внешние углы семиугольника. Отсюда сумма внешних углов семиугольников: 7π-(А1+А2+…+А7).
Получите новые следствия и закончите решение задачи.
Задание 6. Внутри угла, величина которого 60°, взята точка А, из которой проведены перпендикуляры АВ и АС на стороны угла. Доказать, что ∠ВАС=120°.
Указание. Вспомните и примените информацию о сумме углов четырехугольника. Сумма углов четырехугольника известна. Кроме того, в условии есть информация о углах четырехугольника.
Задание 7. Биссектрисы углов В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если ∠ВАС=70°.
Указание. Введите переменные и примените определение биссектрисы треугольника. Пусть градусные меры углов В и С соответственно равны х и у. Найдите сумму углов ОВС и ОСВ.
Задание 8. Может ли у выпуклого четырехугольника быть а) один; б) два; в) три; г) четыре острых угла?
Указание. Если четырехугольник есть, то можно указать, каким образом его строить. Может понадобиться информация о том, что называется внешним углом четырехугольника.
Используйте: если угол острый, то смежный с ним тупой и информацию о сумме внешних углов четырехугольника.
Вернуться к задачам для самостоятельного выполнения
Второй уровень сложности
Задание 1. Сколько существует неравных между собой равнобедренных треугольников со стороной 6 см и углом в 120°?Указание. Рассмотрите разные случаи.
Угол в 120° не может быть при основании равнобедренного треугольника (так как второй угол при основании был бы равен 120°. Это невозможно: сумма углов любого треугольника равна 180°).
Задание 2. Высота разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника. Можно ли найти углы треугольника?
Указание. Рассмотрите разные случаи. Пусть дан треугольник АВС и высота АМ проведена из вершины А. Треугольник АВМ равнобедренный.
Теперь можно рассмотреть варианты равных сторон.
Возможны такие случаи: Анализ ситуации показывает, что возможны такие случаи равенства сторон: А) АВ=АМ=МС; Б) АВ=АМ=АС; В) АМ=ВМ=СМ; Д) АВ=ВМ и АС=СМ.
Теперь рассмотрите каждый случай и определите: Может ли быть такой случай? Если случай возможен: Можно ли определить углы треугольника.
Задание 4. Градусные меры углов треугольника – целые числа, никакие два из которых не равны между собой. Каждое из меньших этих чисел делит большее число. Найдите градусные меры этих чисел.
Указание. Составьте уравнение. Пусть х – градусная мера наименьшего угла. Примените условие о делимости.
Тогда второй по величине угол ху, где у – натуральное число, а наибольший угол равен хуt, где t – натуральное число.
Теперь, применяем теорему о сумме углов треугольника, получаем:
x+xy+xyt=180
Отсюда: х(1+у+yt)=180.
Задание 5. Найдите сумму внешних углов выпуклого девятиугольника.
Указание. Используйте определение внешнего угла и теоремы о сумме углов. Каждый внешний угол является смежным для одного из внутренних. Используйте: сумма внешнего и смежного с ним внутреннего угла равна 180°.
Задание 6. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из углов равен а) 80°; б) 60°.
Указание. Определите возможные случаи. Угол, заданный в условии может быть расположен разными способами относительно основания.
Задание 7. Внутри угла, величина которого 80°, взята точка А, из которой проведены перпендикуляры АВ и АС на стороны угла. Найти градусную меру угла ВАС.
Указание. Обратите внимание: в ситуации задачи имеется четырехугольник. Сумма углов четырехугольника известна. Кроме того, в условии есть информация о углах четырехугольника.
Задание 8. Биссектрисы углов В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если ∠ВАС=α.
Указание. Используйте определение биссектрисы и наличие параллельных прямых. Пусть градусные меры углов В и С соответственно равны х и у. Найдите сумму углов ОВС и ОСВ.
Задание 9. Может ли у выпуклого пятиугольника быть а) один; б) два; в) три; г) четыре острых угла?
Указание. Примените информацию о углах пятиугольника. Может понадобиться информация о том, что называется внешним углом четырехугольника. Используйте: если угол острый, то смежный с ним тупой и информацию о сумме внешних углов четырехугольника.
Вернуться к задачам для самостоятельного выполнения
Третий уровень сложности
Задание 1. Сколько существует неравных между собой равнобедренных треугольников со стороной 6 см и углом α от 0° до 180°?Указание. Спланируйте и выполните перебор вариантов при разных α.
Задание 2. Биссектриса разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника. Можно ли найти углы треугольника?
Указание. Рассмотрите разные случаи. Пусть дан треугольник АВС и биссектриса АМ проведена из вершины А. Треугольник АВМ равнобедренный. Теперь можно рассмотреть варианты равных сторон.
Возможны такие случаи: Анализ ситуации показывает, что возможны такие случаи равенства сторон: А) АВ=АМ=МС; Б) АВ=АМ=АС; В) АМ=ВМ=СМ; Д) АВ=ВМ и АС=СМ.
Теперь рассмотрите каждый случай и определите: Может ли быть такой случай? Если случай возможен: Можно ли определить углы треугольника.
Задание 3. Градусные меры углов треугольника – целые числа, никакие два из которых не равны между собой. Каждое из меньших этих чисел делит большее число. Можно все треугольники, обладающие этими свойствами.
Указание. Составьте уравнение. Пусть х – градусная мера наименьшего угла. Примените условие.
Тогда второй по величине угол ху, где у – натуральное число, а наибольший угол равен хуt, где t – натуральное число.
Теперь, применяем теорему о сумме углов треугольника, получаем:
x+xy+xyt=180
Отсюда: х(1+у+yt)=180.
Задание 4. Найдите сумму внешних углов выпуклого n-угольника.
Указание. Примените определение внешнего угла. Каждый внешний угол является смежным для одного из внутренних. Используйте: сумма внешнего и смежного с ним внутреннего угла равна 180°.
Задание 5. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен а) 100°; б) 80°.
Указание. Рассмотрите разные случаи. Угол, заданный в условии, может быть расположен разными способами относительно основания. Каким образом он может быть расположен?
Задание 6. Внутри угла, величина которого х0, взята точка А, из которой проведены перпендикуляры АВ и АС на стороны угла. Найти градусную меру угла ВАС.
Указание. Обратите внимание на четырехугольник. Сумма углов четырехугольника известна. Кроме того, в условии есть информация о углах четырехугольника.
Задание 7. Найти углы треугольника, стороны которого лежат на прямых, если углы между прямыми равны 20°, 30°и 50°.
Указание. Как могут быть расположены прямые, заданные в условии.
Задание 8. Биссектрисы углов В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если ВАС=α. Можно ли найти углы треугольника АВС?
Указание. Используйте переменные. Пусть градусные меры углов В и С соответственно равны х и у. Найдите сумму углов ОВС и ОСВ.
Задание 9. Может ли у выпуклого многоугольника быть а) один; б) два; в) три; г) четыре острых угла?
Указание. Примените информацию о суммах углов. Для первых трех укажите четырехугольники, которые имеют по нужному числу острых углов.
Вернуться к задачам для самостоятельного выполнения